Триадное канторовское множество

Канторовские множества позволяют проиллюстрировать достаточно много важных и интересных специфических особенностей, присущих фракталам.

Очень простое построение, предложенное Кантором, позволяет получать фрактальные множества с фрактальной размерностью в интервале 0<D<1. Как показано на рис. 10, затравкой служит единичный отрезок [0, 1], а образующий элемент делит его на три равные части и отбрасывает открытую среднюю часть, оставляя ее концевые точки. Затем образующий элемент применяется к каждому из двух оставшихся подынтервалов и т. д. Такая процедура очень быстро приводит к очень коротким отрезкам. Поскольку наша графика имеет конечное разрешение, мы обнаруживаем, что 6-е поколение отрезков неотличимо от 5-го. После бесконечного числа поколений оставшееся бесконечное множество точек рассеяно по единичному отрезку. Это множество называется канторовской пылью.

Вычислим теперь для канторовского множества различные размерности, введенные нами в предыдущих разделах.

Начнем с размерности Хаусдорфа-Безиковича, определяемой выражением (2.3). В n-м поколении канторовское множество состоит из N=2n отрезков длиной li = (1/3)n, i=1, 2, .,N. Если попытаться покрыть множество прямолинейными отрезками длины δ=li и расположить их аккуратно, то нам удастся покрыть все отрезки п-го поколения и, следовательно, все точки канторовского множества. Мера, определяемая формулой (2.3), равна величине

(11)

Рис. 10. Построение Триадного канторовского множества. Затравка-единичный отрезок [0,1]. Образующий элемент удаляет среднюю треть. На рисунке показаны первые пять поколений. D = ln2/ln3 = 0,6309.

Эта мера расходится или стремится к нулю при δ→ 0, если только мы не выберем d= D = ln2/ln3 = 0,6309. Топологическая размерность канторовского множества определяется величиной DT = 0. Так как DT < D, мы заключаем, что Триадное канторовское множество есть фрактальное множество с фрактальной размерностью

(12)

Описываемое здесь канторовское множество не вполне самопо-добно. Однако мы можем расширить его с помощью процедуры экстраполяции, охватывающей область двумя канторовскими множествами, которые покрывают интервалы. Повторяя этот процесс неограниченное число раз, мы можем построить самоподобное множество на полупрямой [0, ∞]. Если изменить масштаб в r = 1/3 раза, то, чтобы покрыть исходное множество, нам понадобится N — 2 таких множеств. Из определения размерности подобия Ds получаем

(13)

Размерность подобия совпадает с фрактальной размерностью Триадного канторовского множества.

Формула (13) позволяет тривиальным образом построить канторовское множество с любой заданной размерностью из интервала 0 < D < 1. В качестве примера на рис. 11 показаны два различных построения, которые оба приводят к одной и той же размерности D = 1/2. Внешне два множества "выглядят" по-разному, хотя они оба имеют одну и ту же фрактальную размерность: у них различная лакунарность.

Размерность кластера, или размерность массы, мы получим, если рассмотрим экстраполированный вариант канторовского множества. Начнем с "мономеров" длиной R0 и образуем "кластер" из N = 2 мономеров длиной R=3R0, после чего все повторим сначала, приняв димер за новый исходный мономер, и т.д. Кластер из N = 2n мономеров имеет диаметр R = 3n. Следовательно, фрактальная размерность этого кластера, определяемая соотношением (13), равна

(14)

Рис. 11. Два построения канторовского множества с D = 1/2. Вверху: N = 2 и r = 1/4; внизу: N = 3 и r = 1/9.

Размерность кластера совпадает с фрактальной размерностью этого канторовского множества.

Мы заключаем, что для весьма простого Триадного канторовского множества все определенные выше различные размерности совпадают.

Похожие статьи:

Метод проектов как наиболее адекватная образовательная технология развития «высших компетентностей»
Современный анализ метода проектов, с нашей точки зрения, не может обойти концепцию «высших компетентностей» Дж. Равена и его анализ передовой педагогической практики. К сожалению, основные педагогически ориентированные работы Равена не переведены на русский язык, однако мы уже «имеем под рукой» две его книги. Дадим слово самому автору при кратком изложении его одной из основных педагогических ра ...

Выявление уровня развития самостоятельности детей
В предыдущей главе были рассмотрены теории развития познавательной активности у детей школьного возраста. Для проверки эффективности разработанного комплекса был проведён педагогический эксперимент. Для осуществления экспериментальной работы я перед собой поставила ряд задач: 1. Выявить у детей наличие познавательных интересов, их содержание и направленность. 2. Изучить некоторые особенности само ...