Методические разработки занятий факультативного курса

Занятие 1

Цель: Познакомить детей с понятиями симметрических многочленов, элементарных симметрических многочленов и степенных сумм. Доказать основную теорему о симметрических многочленах.

План занятия:

Симметрические многочлены: определение и примеры.

Степенные суммы и элементарные симметрические многочлены. Выражение степенных сумм через элементарные симметрические многочлены.

Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных.

Формула нахождения степенных сумм.

Домашнее задание.

1. Симметрические многочлены

Введение

Определение: Многочлен от x и y называется симметрическим, если он не изменяется при замене x на y, а y на x.

Примеры: x2y + y2x – симметрический многочлен, так как x2y + y2x = y2x + x2y.5x2 – y2 – не симметрический многочлен, поскольку 5x2 – y2 не равен многочлену y2 - 5x2.

Задание: Какие из следующих многочленов являются симметрическими:а) xy – 2yx б) y2 + 3x2 в) x2y2 + x + y г) x – y д) 3xy3 + 4x2y2 – 3y3xе) (x3 – y3)2 ж) (x + y)2 - (x - y)2 з) (x - y)3Ответы: (а), (в), (д), (е), (ж).

2. Элементарные симметрические многочлены и степенные суммы

Определение: Элементарными симметрическими многочленами называют многочлены x + y и xy.

Они так называются, поскольку на вид самые простые из симметрических многочленов. Для них используются специальные обозначения: σ1 = x + y и σ2 = xy (σ – греческая буква «сигма»).

Определение: Степенные суммы – это многочлены вида x + y,x2 + y2, x3 + y3, … , xn + yn.

Для степенных сумм тоже приняты специальные обозначения: s1 = x + y, s2 = x2 + y2, … , sn = xn + yn.

Несколько первых степенных сумм легко выражаются через элементарные симметрические многочлены:s1 = x + y = σ1s2 = x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = σ12 - 2 σ2

ЗАДАНИЕ: Выразить s3 и s4 через элементарные симметрические многочлены.Решение: s3 = x3 + y3 = (x + y)( x2 – xy + y2) = σ1(σ12 - 3 σ2) s4 = x4 + y4 =( x2 + y2)2 - 2 x2 y2 = (σ12 - 2 σ2)2 - 2 σ22

Степенные суммы – сами по себе являются симметрическими многочленами и могут быть выражены через элементарные симметрические многочлены. Но не только они, а вообще любой симметрический многочлен можно выразить через элементарный симметрический многочлен. Доказательством тому служит следующая теорема.

3. Основная теорема

Теорема: Любой симметрический многочлен от двух переменных x и y можно представить в виде многочлена от σ1 = x + y и σ2 = xy.

< Доказательство приведено в приложении >.

4. Формула нахождения степенных сумм

При доказательстве основной теоремы мы столкнулись с формулой выражения степенных сумм через σ1 и σ2 :

sk = σ1sk-1 - σ2sk-2

По этой формуле несложно найти любую нужную степенную сумму:

s1 = σ1 s2 = σ12 - 2 σ2s3 = σ1 (σ12 - 2 σ2) - σ2 σ1 = σ13 - 3 σ1 σ2s4 = σ1(σ13 - 3 σ1 σ2) - σ2 (σ12 - 2 σ2) = σ14 - 4 σ12 σ2 + 2 σ22

Сравним полученный результат с вычислениями, сделанными до рассмотрения теоремы. Мы посчитали s3 и s4 верно и без применения формулы, но степенные суммы более высоких степеней без нее уже трудно найти.

Домашнее задание

- Знать определения, формулировку теоремы и план ее доказательства.

- Самим посчитать

s5 , s6 , s7 и s8

Ответы:

s5 = σ15 - 5 σ13 σ2 + 5 σ1 σ22 s6 = σ16 - 6 σ14 σ2 + 9 σ12 σ22 - 2 σ23

Занятие 2

Цель: Рассмотреть теорему единственности выражения симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены и теорему Безу. Научить детей делить многочлен на многочлен «уголком».

Похожие статьи:

Методика развития творческих способностей участников самодеятельности
Руководитель коллектива постоянно сталкивается с необходимостью определения (диагностики) художественно-творческих способностей участников, необходимого для правильной ориентации людей, пришедших в художественную самодеятельность для занятий тем или иным видом искусства. Диагностические данные нужны ему для оптимального художественного развития каждого участника, для осуществления индивидуального ...

Способы управления подготовкой лифтеров
Существует несколько способов управления подготовкой лифтеров. Рассмотрим основные из них. Идеомоторный тренинг - незаслуженно забытый инструмент постановки техники. Перед каждым подходом нужно представить в как можно более ярких красках, как правильно подходить к лифту, как именно фиксировать спину, где и как ставить ноги. Необходим весь букет ощущений и образов, связанных с алгоритмом выполнени ...