Методические разработки занятий факультативного курса

Занятие 1

Цель: Познакомить детей с понятиями симметрических многочленов, элементарных симметрических многочленов и степенных сумм. Доказать основную теорему о симметрических многочленах.

План занятия:

Симметрические многочлены: определение и примеры.

Степенные суммы и элементарные симметрические многочлены. Выражение степенных сумм через элементарные симметрические многочлены.

Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных.

Формула нахождения степенных сумм.

Домашнее задание.

1. Симметрические многочлены

Введение

Определение: Многочлен от x и y называется симметрическим, если он не изменяется при замене x на y, а y на x.

Примеры: x2y + y2x – симметрический многочлен, так как x2y + y2x = y2x + x2y.5x2 – y2 – не симметрический многочлен, поскольку 5x2 – y2 не равен многочлену y2 - 5x2.

Задание: Какие из следующих многочленов являются симметрическими:а) xy – 2yx б) y2 + 3x2 в) x2y2 + x + y г) x – y д) 3xy3 + 4x2y2 – 3y3xе) (x3 – y3)2 ж) (x + y)2 - (x - y)2 з) (x - y)3Ответы: (а), (в), (д), (е), (ж).

2. Элементарные симметрические многочлены и степенные суммы

Определение: Элементарными симметрическими многочленами называют многочлены x + y и xy.

Они так называются, поскольку на вид самые простые из симметрических многочленов. Для них используются специальные обозначения: σ1 = x + y и σ2 = xy (σ – греческая буква «сигма»).

Определение: Степенные суммы – это многочлены вида x + y,x2 + y2, x3 + y3, … , xn + yn.

Для степенных сумм тоже приняты специальные обозначения: s1 = x + y, s2 = x2 + y2, … , sn = xn + yn.

Несколько первых степенных сумм легко выражаются через элементарные симметрические многочлены:s1 = x + y = σ1s2 = x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = σ12 - 2 σ2

ЗАДАНИЕ: Выразить s3 и s4 через элементарные симметрические многочлены.Решение: s3 = x3 + y3 = (x + y)( x2 – xy + y2) = σ1(σ12 - 3 σ2) s4 = x4 + y4 =( x2 + y2)2 - 2 x2 y2 = (σ12 - 2 σ2)2 - 2 σ22

Степенные суммы – сами по себе являются симметрическими многочленами и могут быть выражены через элементарные симметрические многочлены. Но не только они, а вообще любой симметрический многочлен можно выразить через элементарный симметрический многочлен. Доказательством тому служит следующая теорема.

3. Основная теорема

Теорема: Любой симметрический многочлен от двух переменных x и y можно представить в виде многочлена от σ1 = x + y и σ2 = xy.

< Доказательство приведено в приложении >.

4. Формула нахождения степенных сумм

При доказательстве основной теоремы мы столкнулись с формулой выражения степенных сумм через σ1 и σ2 :

sk = σ1sk-1 - σ2sk-2

По этой формуле несложно найти любую нужную степенную сумму:

s1 = σ1 s2 = σ12 - 2 σ2s3 = σ1 (σ12 - 2 σ2) - σ2 σ1 = σ13 - 3 σ1 σ2s4 = σ1(σ13 - 3 σ1 σ2) - σ2 (σ12 - 2 σ2) = σ14 - 4 σ12 σ2 + 2 σ22

Сравним полученный результат с вычислениями, сделанными до рассмотрения теоремы. Мы посчитали s3 и s4 верно и без применения формулы, но степенные суммы более высоких степеней без нее уже трудно найти.

Домашнее задание

- Знать определения, формулировку теоремы и план ее доказательства.

- Самим посчитать

s5 , s6 , s7 и s8

Ответы:

s5 = σ15 - 5 σ13 σ2 + 5 σ1 σ22 s6 = σ16 - 6 σ14 σ2 + 9 σ12 σ22 - 2 σ23

Занятие 2

Цель: Рассмотреть теорему единственности выражения симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены и теорему Безу. Научить детей делить многочлен на многочлен «уголком».

Похожие статьи:

Основные характеристики игры как ведущей деятельности и формы организации жизни детей дошкольного возраста
Ведущая деятельность - это деятельность, с развитием которой происходят главные изменения в психике ребенка и внутри которой развиваются психические процессы, подготавливающие ребенка к новой, высшей ступени своего развития. Общеизвестно, что всем этим признакам отвечает игровая деятельность. Она создает зону ближайшего развития и сама выступает как источник развития. Л.С. Выготский подчеркивал & ...

Психолого-педагогические условия эффективности внутришкольного контроля
Контроль играет большую роль в повышении качества учебно-воспитательного процесса в любой педагогической системе. Там, где дело касается контроля, мелочей быть не может. Контроль за работой людей весьма тонкое дело: контролируя, можно повысить инициативу тружеников, но можно и приглушить ее. Умелый, эффективный контроль - целая наука. Эффективное определение способов внутришкольного контроля возм ...