Методические разработки занятий факультативного курса

2. Решение систем уравнений

Теперь мы можем применять знания о симметрических многочленах при решении систем уравнений с 2-мя неизвестными.

Пример 1. Решить систему:

(1)

Введем новые переменные

σ1 = x + y и σ2 =xy;

x3 + y3 = s3 = σ13 - 3 σ1 σ2

Для новых переменных получаем следующую систему:

(2)

Подставляя значение σ1 = 5 в первое уравнение системы (2) получаем :

Решение системы (2) таково: σ1 = 5 , σ2 = 6. Вернемся к переменным x и

y:

Выражая из 1-го уравнения y и подставляя во второе, приходим к

Решая 2-е уравнение, находим х = 2 или х =3. Подставляя эти значения в первое уравнение, получаем решения исходной системы (1): (2,3) или (3,2).

Ответ: (2,3) или (3,2).

Пример 2. Решить систему

(1)

Как и в предыдущем примере, произведем замены σ1= x + y и σ2 =xy, тогда x3 + y3 = s3 = σ13 - 3 σ1 σ2 и x2 + y2 = σ12 - 2 σ2 .Перейдем к системе с другими переменными:

Выражая из 2-го уравнения σ2 = 1/2 σ12 – 2 и подставляя в 1-е, получаем

(2)

Первое уравнение данной системы – кубическое. Попытка угадать корень дает результат, σ1 = 2 – подходит. Если мы разделим σ13 - 12 σ1 + 16 на σ1 – 2, то получим многочлен уже 2-й степени и сможем решить нужное нам уравнение.

Задание: Разделить

σ13 - 12 σ1 + 16 на σ1 – 2.

Ответ: σ12 + 2 σ1 – 8Итак, по следствию из теоремы Безу имеем:

σ13 - 12 σ1 + 16 = 0, или

(σ1 – 2)( σ12 + 2 σ1 – 8) = 0,Откуда σ1 = 2 или σ1 = -4.

Подставляя эти значения во 2-е уравнение системы(2), получаем:

σ1 = 2; σ2 = 0 или σ1 = -4 ; σ2 = 6 .Возвращаемся к x и y :

или

Вторая система решения не имеет, а из первой находим

Ответ: (2,0) или (0,2).

ЗАДАНИЕ: Решить системы уравнений:

1. 2. 3.

Ответы:1. Вспомогательная система имеет решения σ1 = 3, σ2 = 2 или σ1 = 3, σ2 = 7 Окончательный ответ: (2,1) или (1,2).2. Вспомогательная система имеет решения σ1 = 5, σ2 = 6 Окончательный ответ: (2,3) или (3,2)3. Вспомогательная система имеет решения σ1 = 6, σ2 = 8 или σ1 = -13/3, σ2 = -52/9

Окончательный ответ: (2,4) или (4,2) или (, ) или (, )

Домашнее задание

Решить системы уравнений:

1. 2. 3.

Ответы:

1. Вспомогательная система имеет решения σ1 = 1, σ2 =1/2 Окончательный ответ: корней нет

Похожие статьи:

Роль и функции педагогической поддержки в учреждении дополнительного образования
Педагогическая поддержка ребенка (подростка) в учреждении дополнительного образования может быть представлена как оказание содействия в познании себя, в решении проблем ребенка в поликультурной среде, в защите прав ребенка. Таким образом, педагогическая поддержка ребенка в современном пространстве учреждения дополнительного образования направлена на создание гуманной кулътуросообразной обучающей ...

Основные векторы науки в эпоху глобального экологического кризиса
Человечество на пороге перемен. Изменение характера эволюции. Наука в постиндустриальном мире. Пути сосуществования человека и биосферы. На рубеже веков экспоненциальный рост промышленных показателей стал замедляться, центр тяжести из сферы материального производства очевидным образом стал смещаться в сферу информационную. Основным критерием стал не количественный, а качественный рост, расширение ...