Пример 1. Доказать, что если a и b – действительные числа, удовлетворяющие условию a + b > c, то справедливы неравенства: ,
,
Для доказательства введем элементарные симметрические многочлены,
. Имеем:
Так как z
0, а по условию задачи
, то
, то есть
. Применяя к полученному неравенству те же рассуждения, находим:
Пример 2. Доказать, что если a и b – действительные числа, удовлетворяющие условию a + b > 1, то .
Доказываемое неравенство является частным случаем неравенства, рассмотренного в предыдущем примере. Там мы его доказали, дважды применив неравенство
. Но можно доказать неравенство и непосредственно:
= =
(поскольку z
0).Так как по условию задачи
, то неравенство
доказано.
Задания 1. Доказать, что при любых действительных a и b справедливо неравенство .2. Доказать, что при любых действительных a и b справедливо неравенство
.3. Доказать, что при любых неотрицательных a и b справедливо неравенство
Решение
1.
2.
3.
,так как
, то по теореме 2
и
, и неравенство доказано.
3. Домашнее задание
1. Доказать, что при любых действительных a и b справедливо неравенство .2. Доказать, что при любых неотрицательных a и b справедливо неравенство
3. Доказать, что при любых положительных числах x и y справедливо неравенство
Решения
1.
2.
- по теореме 2.3. Данное неравенство можно переписать в виде
, то есть
, или
, которое выполняется прямо по теореме 2.
Похожие статьи:
Развитие творческих способностей старших дошкольников средствами интеграции на музыкальных занятиях
Если бы мы позволили жизни ребенка войти в нас поло и искренне и стать нашим учителем, нам пришлось бы сказать: «Благодарю тебя, дитя человеческое за то, что ты напомнил мне, как радостно и тревожно быть Человеком. Спасибо, что ты дал мне расти вместе с тобой, за то, что я снова могу научиться тому, о чем позабыл: простоте, силе, полноте, изумлению и любви, и научиться уважать собственную жизнь, ...
Формирование этнокультурной компетентности
В настоящее время, обособленное существование народов и культур становится невозможным, так как интенсификация миграционных и демографических процессов, увеличение числа этнических смешенных семей, образование многонациональных коллективов в социальных институтах значительно расширяют рамки межэтнического взаимодействия. Все это обуславливает и преобразование социальной среды, характерной особенн ...